Question

（12分）如圖，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，側棱AA₁⊥底面ABC，AB=AC=2AA₁，∠BAC=120°，D，D₁分別是線段BC，B₁C₁的中點，P是線段AD的中點．

（I）在平面ABC內，試做出過點P與平面A₁BC平行的直線l，說明理由，并證明直線l⊥平面ADD₁A₁；

（II）設（I）中的直線l交AB于點M，交AC于點N，求二面角A﹣A₁M﹣N的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（I）見解析（II）

【解析】（I）在平面ABC內，過點P作直線l∥BC

∵直線l⊄平面A₁BC，BC⊂平面A₁BC，

∴直線l∥平面A₁BC，

∵△ABC中，AB=AC，D是BC的中點，

∴AD⊥BC，結合l∥BC得AD⊥l

∵AA₁⊥平面ABC，l⊂平面ABC，∴AA₁⊥l

∵AD、AA₁是平面ADD₁A₁內的相交直線

∴直線l⊥平面ADD₁A₁；

（II）連接A₁P，過點A作AE⊥A₁P于E，過E點作EF⊥A₁M于F，連接AF

由（I）知MN⊥平面A₁AE，結合MN⊂平面A₁MN得平面A₁MN⊥平面A₁AE，

∵平面A₁MN∩平面A₁AE=A₁P，AE⊥A₁P，∴AE⊥平面A₁MN，

∵EF⊥A₁M，EF是AF在平面A₁MN內的射影，

∴AF⊥A₁M，可得∠AFE就是二面角A﹣A₁M﹣N的平面角

設AA₁=1，則由AB=AC=2AA₁，∠BAC=120°，可得∠BAD=60°，AB=2且AD=1

又∵P為AD的中點，∴M是AB的中點，得AP=，AM=1

Rt△A₁AP中，A₁P==；Rt△A₁AM中，A₁M=

∴AE==，AF==

∴Rt△AEF中，sin∠AFE==，可得cos∠AFE==

即二面角A﹣A₁M﹣N的余弦值等于．