Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0）過點A（1，-2）．
（Ⅰ）求拋物線C的方程，并求其準線方程；
（Ⅱ）是否存在平行于OA（O為坐標原點）的直線L，使得直線L與拋物線C有公共點，且直線OA與L的距離等于

5

5

？若存在，求直線L的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（I）將（1，-2）代入拋物線方程求得p，則拋物線方程可得，進而根據拋物線的性質求得其準線方程．
（II）先假設存在符合題意的直線，設出其方程，與拋物線方程聯立，根據直線與拋物線方程有公共點，求得t的范圍，利用直線AO與L的距離，求得t，則直線l的方程可得．

解答：解：（I）將（1，-2）代入拋物線方程y²=2px，
得4=2p，p=2
∴拋物線C的方程為：y²=4x，其準線方程為x=-1
（II）假設存在符合題意的直線l，其方程為y=-2x+t，
由

y=-2x+t y2=4x

得y²+2y-2t=0，
∵直線l與拋物線有公共點，
∴△=4+8t≥0，解得t≥-

1

2

又∵直線OA與L的距離d=

|t|

5

=

5

5

，求得t=±1
∵t≥-

1

2

∴t=1
∴符合題意的直線l存在，方程為2x+y-1=0

點評：本題小題主要考查了直線，拋物線等基礎知識，考查推理論證能力，運算求解能力，考查函數與方程思想，數形結合的思想，化歸與轉化思想，分類討論與整合思想．