Question

△ABC中，角A、B、C所對應的邊分別為a、b、c，若

a-c

b-c

=

sinB

sinA+sinC

．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若函數f(x)=cos2(x+A)-sin2(x-A)+sinx(x∈[0，

π

2

])，求函數f（x）的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用正弦定理化簡已知等式的右邊，再根據余弦定理表示出cosA，將化簡得到的關系式代入求出cosA的值，由A為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值即可求出A的度數；
（Ⅱ）將A的度數代入f（x）解析式中，前兩項利用二倍角的余弦函數公式化簡，整理后得到關于sinx的二次函數，根據x的范圍，利用正弦函數的圖象與性質得到sinx的范圍，利用二次函數的性質即可得到函數f（x）的值域，即為f（x）的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由

a-c

b-c

=

sinB

sinA+sinC

，得

a-c

b-c

=

b

a+c

，
即a²=b²+c²-bc，即bc=b²+c²-a²，
∴

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，
又根據余弦定理得到cosA=

1

2

，
∵0＜A＜π，
∴A=

π

3

；…（6分）
（Ⅱ）f（x）=cos²（x+A）-sin²（x-A）+sinx
=cos²（x+

π

3

）-sin²（x-

π

3

）+sinx
=

1+cos(2x+ 2π 3 )

2

-

1-cos(2x+ 2π 3 )

2

+sinx
=sin²x+sinx-

1

2

=（sinx+

1

2

）²-

3

4

，
∵x∈[0，

π

2

]，
∴sinx∈[0，1]，
則根據二次函數性質得到函數f（x）的取值范圍[-

1

2

，

3

2

]．…（13分）

點評：此題考查了正弦、余弦定理，二倍角的余弦函數公式，正弦函數的定義域與值域，以及二次函數的性質，熟練掌握定理及性質是解本題的關鍵．