Question

（2012•豐臺區一模）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且asinB-bcosC=ccosB．
（Ⅰ）判斷△ABC的形狀；
（Ⅱ）若f(x)=

1

2

cos2x-

2

3

cosx+

1

2

，求f（A）的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）法1：利用正弦定理化簡已知的等式，整理后再利用兩角和與差的正弦函數公式及誘導公式變形，根據sinA不為0，可得出sinB=1，利用特殊角的三角函數值得到B為直角，即可判斷出三角形ABC為直角三角形；
法2：利用余弦定理化簡已知的等式，整理后根據a不為0，得到sinB=1，利用特殊角的三角函數值得到B為直角，即可判斷出三角形ABC為直角三角形；
（Ⅱ）把f（x）解析式第一、三項結合，利用二倍角的余弦函數公式化簡，得到關于cosx的二次函數，配方后利用二次函數的性質及余弦函數的值域，即可得到f（A）的范圍．

解答：解：（Ⅰ）法1：∵asinB-bcosC=ccosB，
由正弦定理可得：sinAsinB-sinBcosC=sinCcosB．
即sinAsinB=sinCcosB+cosCsinB，
∴sin（C+B）=sinAsinB，
∵在△ABC中，A+B+C=π，即C+B=π-A，
∴sin（C+B）=sinA=sinAsinB，又sinA≠0，
∴sinB=1，即B=

π

2

，
則△ABC為B=

π

2

的直角三角形；
法2：∵asinB-bcosC=ccosB，
由余弦定理可得asinA=b•

a2+b2-c2

2ab

+c•

a2+c2-b2

2ac

，
整理得：asinB=a，
∵a≠0，∴sinB=1，
∴在△ABC中，B=

π

2

，
則△ABC為B=

π

2

的直角三角形；
（Ⅱ）∵f（x）=

1

2

cos2x-

2

3

cosx+

1

2

=cos²x-

2

3

cosx
=（cosx-

1

3

）²-

1

9

，
∴f（A）=（cosA-

1

3

）²-

1

9

，
∵△ABC為B=

π

2

的直角三角形，
∴0＜A＜

π

2

，且0＜cosA＜1，
∴當cosA=

1

3

時，f（A）有最小值是-

1

9

，
則f（A）的取值范圍是[-

1

9

，

1

3

）．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，兩角和與差的正弦函數公式，二倍角的余弦函數公式，余弦函數的定義域與值域，以及二次函數的性質，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．