Question

（本小題滿分12分）已知函數=(為實常數).
（1）若函數在=1處與軸相切，求實數的值.
(2)若存在∈[1，]，使得≤成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）=；（2）a的取值范圍是．

（1）先求出原函數的導數==欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導數求出在x=1處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．列出關于a的方程求得a的值
（2）存在∈[1，]，使得≤成立，
不等式，     可化為．
∵, ∴且等號不能同時取，所以，即，
因而（）構造函數利用導數求解最大值即可。
解：（1）==，由在=1處與軸相切知，=0，即=0
解得，=；
（2）不等式，可化為．
∵, ∴且等號不能同時取，所以，即，
因而（）
令（），又，
當時，，，
從而（僅當x=1時取等號），所以在上為增函數，
故的最小值為，所以a的取值范圍是．