Question

已知函數f(x)=x－ax+(a－1)，。
（1）討論函數的單調性；       
（2）證明：若，則對任意x，x，xx，有。

Answer 1

（1）見解析（2）見解析

本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。
（1）先求解定義域，然后對于參數a進行討論得到單調性的問題。
（2）由于不等式恒成立只要證明是單調增函數即可，因此利用構造函數的思想來證明得到。
解：(1)的定義域為。
    2分
（i）若即,則

故在單調增加。        3分
(ii)若,而,故,則當時，;
當及時，
故在單調減少，在單調增加。    4分
(iii)若,即,同理可得在單調減少，在單調增加.          6分
(II)考慮函數

則
由于1<a<5,故，即g(x)在(4, +∞)單調增加，從而當時有，即，故，當時，有·········12分