Question

【題目】已知函數f（x）＝（1+x）t﹣1的定義域為（﹣1，+∞），其中實數t滿足t≠0且t≠1.直線l：y＝g（x）是f（x）的圖象在x＝0處的切線.

（1）求l的方程：y＝g（x）；

（2）若f（x）≥g（x）恒成立，試確定t的取值范圍；

（3）若a1，a2∈（0，1），求證： .注：當α為實數時，有求導公式（xα）′＝αxα﹣1.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析

【解析】

（1）根據函數的解析式求出導函數的解析式，求出切點坐標及切線的斜率（切點的導函數值），可得直線的方程；

（2）構造函數，若恒成立，即在上恒成立，即在上的最小值不小于0，分類討論后可得滿足條件的的取值范圍；

（3）分和兩種情況證明結論，并構造函數，先征得是單調減函數，進而得到結論.

（1）∵f（x）＝（1+x）t﹣1

∴f'（x）＝t（1+x）x﹣1，

∴f'（0）＝t，

又f（0）＝0，

∴l的方程為：y＝tx；

（2）令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝（1+x）t﹣tx﹣1，

h'（x）＝t（1+x）t﹣1﹣t＝t[（1+x）t﹣1﹣1]

當t＜0時，（1+x）t﹣1﹣1單調遞減，

當x＝0時，h'（x）＝0

當x∈（﹣1，0），h'（x）＜0，h（x）單調遞減；

當x∈（0，+∞），h'（x）＞0，h（x）單調遞增.

∴x＝0是h（x）的唯一極小值點，

∴h（x）≥h（0）＝0，f（x）≥g（x）恒成立；

當0＜t＜1時，（1+x）t﹣1﹣1單調遞減，

當x＝0時，h'（x）＝0

當x∈（﹣1，0），h'（x）＞0，h（x）單調遞增；

當x∈（0，+∞），h'（x）＜0，h（x）單調遞減.

∴x＝0是h（x）的唯一極大值點，

∴h（x）≤h（0）＝0，不滿足f（x）≥g（x）恒成立；

當t＞1時，（1+x）t﹣1﹣1單調遞增，

當x＝0時，h'（x）＝0

當x∈（﹣1，0），h'（x）＜0，h（x）單調遞減；

當x∈（0，+∞），h'（x）＞0，h（x）單調遞增.

∴x＝0是h（x）的唯一極小值點，

∴h（x）≥h（0）＝0，f（x）≥g（x）恒成立；

綜上，t∈（﹣∞，0）∪（1，+∞）；

證明：（3）當a1＝a2，不等式顯然成立；

當a1≠a2時，不妨設a1＜a2

則

令，x∈[a1，a2]

下證φ（x）是單調減函數：

∵

易知a1﹣a2∈（﹣1，0），1+a1﹣a2∈（0，1），

由（2）知當t＞1，（1+x）t＞1+tx，x∈[a1，a2]

∴

∴

∴

∴φ'（x）＜0，

∴φ（x）在[a1，a2]上單調遞減.

∴φ（a1）＞φ（a2），

即

∴.

綜上，成立.