Question

【題目】已知函數f (x)＝若函數f (x)的圖象與直線y＝x有三個不同的公共點，則實數a的取值集合為________.

Answer 1

【答案】{－20，－16}

【解析】當x<1時，f (x)＝sin x與y＝x的圖象有1個交點，為(0，0)，則當x≥1時，f (x)＝x3－9x2＋25x＋a與y＝x的圖象有2個交點，即關于x的方程x3－9x2＋24x＋a＝0在x∈[1，＋∞)有兩個不同解.令g(x)＝x3－9x2＋24x＋a，x∈[1，＋∞)，則g′(x)＝3x2－18x＋24＝3(x－2)(x－4)，令g′(x)＝0，解得x＝2或x＝4，且當x∈[1，2)時，g′(x)>0，g(x)單調遞增；當x∈(2，4)時，g′(x)<0，g(x)單調遞減；當x∈(4，＋∞)時，g′(x)>0，g(x)單調遞增.又因為g(1)＝g(4)＝16＋a，所以g(2)＝20＋a＝0或g(4)＝g(1)＝16＋a＝0，解得a＝－20或a＝－16，故實數a的取值集合為{－20，－16}.

故答案為：{－20，－16}