Question

【題目】已知函數

（1）求函數的定義域；

（2）判定函數在的單調性，并證明你的結論；

（3）若當時， 恒成立，求正整數的最大值.

Answer 1

【答案】（1） （2）減函數 （3）3

【解析】試題分析：

(1)結合函數的解析式可得函數的定義域為 ；

(2)對函數 求導，結合題意和導函數的解析式可得＝－ <0，所以函數f(x)在區間(-1,0)上是減函數.

(3)首先由不等式的性質可得k的最大值不大于３，然后結合導函數的性質可得滿足題意，即正整數的最大值是3.

試題解析：

解：(Ⅰ)函數的定義域為

(Ⅱ)＝＝－　設,

故g(x)在(-1,0)上是減函數,而g(x)>g(0)=1>0,

故＝－ <0，

所以函數f(x)在區間(-1,0)上是減函數.　

（III）當ｘ>０時，f（ｘ）＞恒成立,　令ｘ＝１有ｋ＜２

又k為正整數．∴k的最大值不大于３． 　　　　　　　

下面證明當ｋ＝３時，f（ｘ）＞（ｘ＞０）恒成立．

即證當ｘ>０時， ＋１－２ｘ＞０恒成立．　　　　　

令ｇ（ｘ）＝ ＋１－２ｘ，則＝－１，

當ｘ>ｅ－１時， ＞０；當０＜ｘ＜ｅ－１時， ＜０．

∴當ｘ＝ｅ－１時，ｇ（ｘ）取得最小值ｇ(e－1)＝３－ｅ＞０．

∴當ｘ>０時， ＋１－２ｘ＞０恒成立．

因此正整數k的最大值為3．