Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知平行于軸的動直線交拋物線： 于點，點為的焦點.圓心不在軸上的圓與直線， ， 軸都相切，設的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）若直線與曲線相切于點，過且垂直于的直線為，直線， 分別與軸相交于點， .當線段的長度最小時，求的值.

Answer 1

【答案】(1) ．(2)見解析.

【解析】試題分析：（1）設根據題意得到，化簡得到軌跡方程；（2）設， ， ， ，構造函數研究函數的單調性，得到函數的最值.

解析：

（1）因為拋物線的方程為，所以的坐標為，

設，因為圓與軸、直線都相切， 平行于軸，

所以圓的半徑為，點 ，則直線的方程為，即，

所以，又，所以，即，

所以的方程為 ．

（2）設， ， ，

由（1）知，點處的切線的斜率存在，由對稱性不妨設，

由，所以， ，

所以， ，

所以．

令， ，則，

由得，由得，

所以在區間單調遞減，在單調遞增，

所以當時， 取得極小值也是最小值，即取得最小值， 此時．