Question

【題目】在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，，直線：（為參數，）.

（Ⅰ）求直線的普通方程；

（Ⅱ）在曲線上求一點，使它到直線的距離最短，并求出點的極坐標.

Answer 1

【答案】(1) 直線的普通方程為;(2) 點的極坐標為.

【解析】

（1）根據加減消元法得直線的普通方程，（2）由于曲線為圓，所以D為過圓心且垂直直線的直線與圓的交點（取靠近直線的點），利用解方程組可得D直角坐標，最后化為極坐標.

（Ⅰ）因為直線的參數方程為（為參數，），

消去得直線的普通方程為.

（Ⅱ）因為曲線：是以 為圓心，為半徑的圓，

設點，且點到直線：的距離最短，

所以曲線在點處的切線與直線：平行.

即直線與的斜率的乘積等于，即.

因為，解得或.所以點 或.

由于點到直線的距離最短，所以點的極坐標為.