Question

【題目】已知函數f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)·f(y)且f(1)＝.

(1)當n∈N*時，求f(n)的表達式；

(2)設an＝n·f(n)，n∈N*，求證：a1＋a2＋a3＋…＋an<2；

(3)設bn＝(9－n) ，n∈N*，Sn為{bn}的前n項和，當Sn最大時，求n的值．

Answer 1

【答案】(1) ；(2)證明見解析；(3)當n＝8或n＝9時，Sn取得最大值．

【解析】試題分析：

(1)由題意結合遞推關系可得：{f(n)}是首項為，公比為的等比數列，則.

(2)由題意可得： ，錯位相減有： ，則有a1＋a2＋a3＋…＋an<2；

(3)結合(1)的結論可得： ，則當n＝9時，bn＝0；當n>9時，bn<0.故當n＝8或n＝9時，Sn取得最大值．

試題解析：

(1)解　令x＝n，y＝1，

得f(n＋1)＝f(n)·f(1)＝f(n)，

∴{f(n)}是首項為，公比為的等比數列，

∴f(n)＝()n.

(2)證明　設Tn為{an}的前n項和，

∵an＝n·f(n)＝n·()n，

∴Tn＝＋2×()2＋3×()3＋…＋n×()n，

Tn＝()2＋2×()3＋3×()4＋…＋(n－1)×()n＋n×()n＋1，

兩式相減得Tn＝＋()2＋()3＋…＋()n－n×()n＋1，

＝1－()n－n×()n＋1，

∴Tn＝2－()n－1－n×()n<2.

(3)解　∵f(n)＝()n，

∴bn＝(9－n)

＝(9－n)＝.

∴當n≤8時，bn>0；

當n＝9時，bn＝0；

當n>9時，bn<0.

∴當n＝8或n＝9時，Sn取得最大值．