Question

(2006北京朝陽(yáng)模擬)已知函數(shù)，1＜m＜2．

(1)若f(x)在區(qū)間[－1，1]上的最大值為1，最小值為－2，求m、n的值；

(2)在(1)條件下，求經(jīng)過點(diǎn)P（2，1）且與曲線f(x)相切的直線l的方程；

(3)設(shè)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為g(x)，函數(shù)，試判斷函數(shù)F(x)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)，并求出相應(yīng)實(shí)數(shù)m的范圍．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)∵， ∴由，得，． 又1＜m＜2，， ∴當(dāng)時(shí)，，f(x)遞增；當(dāng)時(shí)，，f(x)遞增減． ∴f(x)在區(qū)間[－1，1]上的最大值為f(0)=n，∴n=1． 又，，∴f(－1)＜f(1)． 由題意得f(－1)=－2，即，得．故，n=1為所求． (2)由(1)得， 易知點(diǎn)P(2，1)在曲線f(x)上． 又，∴當(dāng)切點(diǎn)為P(2，1)時(shí)，切線l的斜率， 即4x－y－7=0． 當(dāng)點(diǎn)P不是切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為切線l的斜率， ∴l的方程為． 又點(diǎn)P(2，1)在l上，∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴．∴切線l的方程為y=1． 故所求切線l的方程為4x－y－7=0或y=1．(或者：由(1)知點(diǎn)A(0，1)為極大值點(diǎn)，所以曲線f(x)的點(diǎn)A處的切線為y=1，恰好經(jīng)過點(diǎn)P(2，1)，符合題意．) (3)由已知得， ∴， ∴ ． ∵，二次函數(shù)的判別式為，整理，得． 又1＜m＜2， ∴當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)F(x)為單調(diào)遞增，極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；當(dāng)時(shí)，Δ＞0，此時(shí)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)極值點(diǎn)的定義，可知函數(shù)F(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)．