Question

(2006北京朝陽模擬)如圖所示，已知圓，設M為圓C與x軸負半軸的交點，過M作圓C的弦MN，并使它的中點P恰好落在y軸上．

(1)當r=2時，求滿足條件的P點的坐標；

(2)當r(1，＋∞)時，求點N的軌跡G的方程；

(3)過點P(0，2)的直線l與(2)中軌跡G相交于兩個不同的點E、F，若，求直線l的斜率的取值范圍．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)解法一：由已知得，r=2時，可求得M點的坐標為M(－1，0)． 設P(0，b)，則由． (或用勾股定理)得． ∴b=±1，即點P坐標為(0，±1)． 解法二：同上可得M(－1，0)設N(x，y)，則 解得N(1，±2)． ∴MN的中點P坐標為(0，±1)， (2)解法一：設N(x，y)， 由已知得，在圓方程中令y=0，求得M點的坐標為(1－r，0)． 設P(0，b)，則由． (或用) ∵點P為線段MN的中點，∴，y=2b．又r＞1， ∴點N的軌跡方程為(x≠0)． 解法二：設N(x，y)， 同上可得M(1－r，0)，則，消去r，又r＞1， ∴點N的軌跡方程為(x≠0)． (3)依題意得直線l的斜率存在且不為0，設直線l的方程為y=kx＋2，，， 由，得． 由Δ=－32k＋16＞0，得． ∵， ∴． ∴． 得． ∴k＞0或k＜－12． ∴或k＜－12．