Question

如圖2，四邊形為矩形，⊥平面，,作如圖3折疊，折痕，其中點分別在線段上，沿折疊后點疊在線段上的點記為，并且⊥.（1）證明：⊥平面;
（2）求三棱錐的體積.

Answer 1

（1）見解析（2）

解析試題分析：（1）要證CF⊥平面MDF，只需證CF⊥MD，且CF⊥MF即可；由PD⊥平面ABCD，得出平面PCD⊥平面ABCD，即證MD⊥平面PCD，得CF⊥MD；（2）求出△CDE的面積S_△CDE，對應三棱錐的高MD，計算它的體積V_M-CDE．
試題解析：（1）證明：∵PD⊥平面ABCD，PD?平面PCD，
∴平面PCD⊥平面ABCD；
又平面PCD∩平面ABCD=CD，MD?平面ABCD，MD⊥CD，
∴MD⊥平面PCD，CF?平面PCD，∴CF⊥MD；
又CF⊥MF，MD、MF?平面MDF，MD∩MF=M，
∴CF⊥平面MDF；

（2）∵CF⊥平面MDF，∴CF⊥DF，
又易知∠PCD=60°，∴∠CDF=30°，∴CF=CD=；
∵EF∥DC，∴，即，∴，∴，，
=，
∴
考點：空間線面垂直、面面垂直的判定與性質，空間幾何體的體積計算，邏輯推論證能力，運算求解能力