Question

【題目】設函數f（x）在定義域（0，+∞）上是單調函數，且x∈（0，+∞），f（f（x）﹣ex+x）＝e.若不等式2f（x）﹣f′（x）﹣3≥ax對x∈（0，+∞）恒成立，則a的取值范圍是（ ）

A.（﹣∞，e﹣2]B.（﹣∞，e﹣1]C.（﹣∞，2e﹣3]D.（﹣∞，2e﹣1]

Answer 1

【答案】A

【解析】

先利用換元法求出f（x）的解析式，然后再用分離變量法，借助導數研究函數的單調性來解決問題.

設f（x）﹣ex+x＝t，則f（t）＝e，

∴f（x）＝ex﹣x+t，令x＝t得f（t）＝et﹣t+t＝e，解得t＝1，

∴f（x）＝ex﹣x+1，

f′（x）＝ex﹣1，

不等式2f（x）﹣f′（x）﹣3≥ax，x∈（0，+∞）.即：a2.

令g（x）2，x∈（0，+∞）.

g′（x），

所以在上遞減，在上遞增，

所以x＝1時，函數g（x）取得極小值即最小值..

∵不等式2f（x）﹣f′（x）﹣3≥ax對x∈（0，+∞）恒成立，

∴a≤e﹣2.

∴a的取值范圍是（﹣∞，e﹣2].

故選：A.