Question

（1）若不等式|x-1|+|x-2|＞a恒成立，則實數a的取值范圍為

（-∞，1）

；
（2）在極坐標下，點(2，

π

2

)到直線ρsin(θ+

π

4

)+

2

=0的距離

2

2

．

Answer 1

分析：要使不等式|x-1|+|x-2|＞a恒成立，需f（x）=|x-1|+|x-2|的最小值大于a，問題轉化為求f（x）的最小值．
把極坐標方程化為普通方程，把點A的極坐標化為直角坐標，利用點到直線的距離公式求出點到這條直線的距離．

解答：解：（1）設f（x）=|x-1|+|x-2|，
則有f（x）=

3-2x，x＜1 1，1≤x≤2 2x-3，x＞2

，
當x＜1時，f（x）＞1；
當1≤x≤2時，f（x）有最小值1；
當x＞2時，f（x）＞1；
綜上f（x）有最小值1，
所以實數a的取值范圍為（-∞，1）
解：直線ρsin(θ+

π

4

)+

2

=0的可化為ρsinθ+ρcosθ+2=0，
化成直角坐標方程為：x+y+2=0，
點(2，

π

2

)可化（0，2），
根據點到直線的距離公式 d=

2+2

2

=2

2

，
故答案為：（-∞，1），2

2

點評：本題考查絕對值不等式的解法，體現了等價轉化的數學思想．本題考查把極坐標方程化為普通方程的方法，以及點到直線的距離公式的應用．解答關鍵是利用直角坐標與極坐標間的關系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進行代換即得．