Question

請考生從以下三個小題中任選一個作答，若多選，則按所選的第一題計分．
（1）若不等式|x-1|+|x-m|＜2m的解集為∅，則m的取值范圍為

（0，

1

3

）

．
（2）直線3x-4y-1=0被曲線

x=2cosθ y=1+2sinθ

（θ為參數）所截得的弦長為

2

3

．
（3）若直角△ABC的內切圓與斜邊AB相切于點D，且AD=1，BD=2，則△ABC的面積為

2

．

Answer 1

分析：（1）由于|x-1|+|x-m|最小值為|m-1|，則由題意可得0＜2m≤|m-1|，解此絕對值不等式求出解集．
（2）把圓的參數方程化為普通方程，求出圓心到直線3x-4y-1=0的距離為d，根據弦長為2

r2-d2

 求得結果．
（3）設內切圓半徑為r，由勾股定理可得（1+r）²+（2+r）²=9，可得r²+3r=2，再根據△ABC的面積為

1

2

×（1+r）（2+r），運算求得結果．

解答：解：（1）由于|x-1|+|x-m|表示數軸上的x對應點到1和m對應點的距離之和，其最小值為|m-1|，
若不等式|x-1|+|x-m|＜2m的解集為∅，則有0＜2m≤|m-1|，
故有

m＞0 m-1＞2m 或m-1＜-2m

，解得 0＜m＜

1

3

，
故答案為 （0，

1

3

）．
（2）曲線

x=2cosθ y=1+2sinθ

（θ為參數）即 x²+（y-1）²=4，表示以C（0，1）為圓心，以2為半徑的圓，
圓心到直線3x-4y-1=0的距離為d=

|0-4-1|

5

=1，故弦長為2

r2-d2

=2

4-1

=2

3

，
故答案為 2

3

．
（3）由于直角△ABC的內切圓與斜邊AB相切于點D，且AD=1，BD=2，設內切圓半徑為r，
則由勾股定理可得（1+r）²+（2+r）²=9，∴r²+3r=2．
△ABC的面積為

1

2

×（1+r）（2+r）=

1

2

（r²+3r+2）=2，
故答案為 2．

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，直線和圓相交的性質，圓的切線性質、圓的參數方程，以及三角形中的幾何計算，屬于中檔題．