Question

【題目】在多面體中，四邊形是正方形，平面，，，為的中點.

（1）求證：；

（2）求平面與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）首先證明，，，∴平面.即可得到平面，.

（2）以為坐標原點，，，所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，分別求出平面和平面的法向量，帶入公式求解即可.

（1）∵平面，平面，∴.

又∵四邊形是正方形，∴.

∵，∴平面.

∵平面，∴.

又∵，為的中點，∴.

∵，∴平面.

∵平面，∴.

（2）∵平面，，∴平面.

以為坐標原點，，，所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系.

如圖所示：

則，，，.

∴，，.

設為平面的法向量，

則，得，

令，則.

由題意知為平面的一個法向量，

∴，

∴平面與平面所成角的正弦值為.