Question

【題目】已知函數，，且點處取得極值．

（Ⅰ）若關于的方程在區間上有解，求的取值范圍；

（Ⅱ）證明：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析．

【解析】

試題（Ⅰ）求導，利用求值；分離常數，構造函數，轉化為求函數的值域問題；（Ⅱ）作差構造函數，將證明不等式恒成立問題轉化為求函數的最值問題．

試題解析：解：（Ⅰ）∵， ∴

∵函數在點處取得極值，

∴，即當時，

∴，則得．經檢驗符合題意 2分

∵，∴， ∴．

令， 則．

∴當時，隨的變化情況表：

	1	（1，2）	2	（2，3）	3
		+	0	-
		↗	極大值	↘

計算得：，，，

所以的取值范圍為． 6分

（Ⅱ）證明：令，

則，

令，則，

函數在遞增，在上的零點最多一個

又，，存在唯一的使得， 9分

且當時，；當時，．

即當時，；當時，．

在遞減，在遞增，從而．

由得即，兩邊取對數得：，，

，從而證得． 12分