Question

某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成8個(gè)等級(jí)，等級(jí)系數(shù)ξ依次為1，2，…，8，產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)越大表明產(chǎn)品的質(zhì)量越好，現(xiàn)從某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取30件，相應(yīng)的等級(jí)系數(shù)組成一個(gè)樣本，數(shù)據(jù)如圖：
（I）該行業(yè)規(guī)定產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)ξ≥7的為一等品，等級(jí)系數(shù)5≤ξ＜7的為二等品，等級(jí)系數(shù)3≤ξ＜5的為三等品，試分別估計(jì)該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的一等品率、二等品率和三等品率；
（II）已知該廠生產(chǎn)一件該產(chǎn)品的利潤(rùn)y（單位：元）與產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)ξ的關(guān)系式為：y=

3，，3≤ξ＜5 5，5≤ξ＜7 8，ξ≥7

，從該廠生產(chǎn)的商品中任取一件，其利潤(rùn)記為X，用這個(gè)樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，將頻率視為概率，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)題意，由樣本數(shù)據(jù)可得30件產(chǎn)品中一等品、二等品、三等品的數(shù)目，計(jì)算可得三個(gè)等級(jí)各自的其頻率，由頻率的意義可得答案；
（II）X的可能取值為3，5，8，求出相應(yīng)的概率，即可求得分布列與數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（I）根據(jù)題意，由樣本數(shù)據(jù)知，30件產(chǎn)品中，一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件．
∴樣本中一等品的頻率為

6

30

=0.2，故估計(jì)該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的一等品率為0.2，
二等品的頻率為

9

30

=0.3，故估計(jì)該廠產(chǎn)品的二等品率為0.3，
三等品的頻率為

15

30

=0.5，故估計(jì)該廠產(chǎn)品的三等品率為0.5；
（II）X的可能取值為3，5，8，則P（X=3）=0.5，P（X=5）=0.3，P（X=8）=0.2
X的分布列如下

X	3	5	8
P	0.5	0.3	0.2

數(shù)學(xué)期望EX=3×0.5+5×0.3+8×0.2=5.4（元）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等可能事件的概率的計(jì)算，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，確定變量的取值是關(guān)鍵．