Question

（2013•泰安一模）某產品按行業生產標準分成6個等級，等級系數ξ依次為1，2，3，4，5，6，按行業規定產品的等級系數ξ≥5的為一等品，3≤ξ＜5的為二等品，ξ＜3的為三等品．
若某工廠生產的產品均符合行業標準，從該廠生產的產品中隨機抽取30件，相應的等級系數組成一個樣本，數據如下；

（I）以此30件產品的樣本來估計該廠產品的總體情況，試分別求出該廠生產原一等品、二等品和三等品的概率；
（II）已知該廠生產一件產品的利潤y（單位：元）與產品的等級系數ζ的關系式為y=

1，ξ＜3 2，3≤ξ＜5 4，ξ≥5

，若從該廠大量產品中任取兩件，其利潤記為Z，求Z的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（I）由樣本數據，結合行業規定，確定一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件，即可估計該廠生產的產品的一等品率、二等品率和三等品率；
（II）確定Z的可能取值為：2，3，4，5，6，8．用樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，可得Z的分布列，從而可求數學期望．

解答：解：（I）由樣本數據知，30件產品中等級系數ξ≥7有6件，即一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件-----------------------------------------------------------（3分）
∴樣本中一等品的頻率為

6

30

=0.2，故估計該廠生產的產品的一等品率為0.2--------（4分）
二等品的頻率為

9

30

=0.3，故估計該廠生產的產品的二等品率為0.3；--------------（5分）
三等品的頻率為

15

30

=0.5，故估計該廠生產的產品的三等品的頻率為0.5．----------（6分）
（II）∵Z的可能取值為：2，3，4，5，6，8．
用樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，可得
P（Z=2）=0.5×0.5=

1

4

，P（Z=3）=2×

1

2

×

3

10

=

3

10

，
P（Z=4）=

3

10

×

3

10

=

9

100

，P（Z=5）=2×

1

2

×

1

5

=

1

5

，
P（Z=6）=2×

3

10

×

1

5

=

3

25

，P（Z=8）=

1

5

×

1

5

=

1

25

，
∴可得X的分布列如下：----------------------------------------------------（10分）

其數學期望EX=3.8（元）-----------------------------（12分）

點評：本題考查統計知識，考查離散型隨機變量的分布列與期望，解題時利用樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率．