Question

【題目】已知函數(shù)（）．

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值點(diǎn)；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上恒有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）已知，且，在（2）的條件下，證明數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為;（Ⅱ）;（Ⅲ）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，研究導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)變化，進(jìn)而確定函數(shù)的極值點(diǎn)；（2）求導(dǎo)、作差、分離常數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為， ，再轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題；（3）利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)， ，

.

令得： .

又，且時(shí)， ， 時(shí)， .

所以，函數(shù)的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為.

（2）因?yàn)?/span>，由，得，

即， .

又（∵）,∴.

（3）①當(dāng)時(shí)， ,又 , ∴，且，

∴ .

∴，即當(dāng)時(shí)結(jié)論成立．

②假設(shè)當(dāng)時(shí)，有，且，則當(dāng)時(shí)，

．

∴， 即當(dāng)時(shí)結(jié)論成立．

由①，②知數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列．