Question

一個非空集合中的各個元素之和是3的倍數，則稱該集合為“好集”．記集合{1，2，3，…，3n}的子集中所有“好集”的個數為f（n）．
（1）求f（1），f（2）的值；
（2）求f（n）的表達式．

Answer 1

考點：子集與真子集

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法,集合

分析：（1）n=1時，集合{1，2，3}的子集中是“好集”的有3個，得f（1）=3；
n=2時，集合{1，2，3，4，5，6}的子集中是“好集”的有23個，得f（2）=23；
（2）先考慮f（n+1）與f（n）的關系，得出f（n+1）=2 f（n）+2×2³ⁿ+1，再推導出f（n）．

解答： 解：（1）當n=1時，集合{1，2，3}的子集中是“好集”的有：
{3}，{{1，2}，{1，2，3}，共3個，∴f（1）=3；（1分）
當n=2時，集合{1，2，3，4，5，6}的子集中是“好集”的有：
單元集：{3}，{6}共2個，雙元集{1，2}，{1，5}，{2，4}，{4，5}，{3，6}共5個，
三元集有：{1，2，3}，{1，2，6}，{1，3，5}，{1，5，6}，{4，2，3}，{4，2，6}，{4，3，5}，{4，5，6}共8個，
四元集有{3，4，5，6}，{2，3，4，6}，{1，3，5，6}，{1，2，3，6}，{1，2，4，5}共五個，
五元集{1，2，4，5，6}，{1，2，3，4，5}共2個，還有一個全集．
∴f（2）=1+（2+5）×2+8=23；（4分）
（2）首先考慮f（n+1）與f（n）的關系．
集合{1，2，3，…，3n，3n+1，3n+2，3n+3}在集合{1，2，3，…，3n}中加入3個元素3n+1，3n+2，3n+3，
∴f（n+1）的組成有以下幾部分：①原有的f（n）個集合；
②含有元素3n+1的“好集”是{1，2，3，…，3n}中各元素之和被3除余2的集合，
含有元素是3n+2的“好集”是{1，2，3，…，3n}中各元素之和被3除余1的集合，
含有元素是3n+3的“好集”是{1，2，3，…，3n}中各元素之和被3除余0的集合，合計是2³ⁿ；
③含有元素是3n+1與3n+2的“好集”是{1，2，3，…，3n}中各元素之和被3除余0的集合，
含有元素是3n+2與3n+3的“好集”是{1，2，3，…，3n}中各元素之和被3除余1的集合，
含有元素是3n+1與3n+3的“好集”是{1，2，3，…，3n}中各元素之和被3除余2的集合，合計是2³ⁿ；
④含有元素是3n+1，3n+2，3n+3的“好集”是{1，2，3，…，3n}中“好集”與它的并，再加上{3n+1，3n+2，3n+3}；
∴f（n+1）=2 f（n）+2×2³ⁿ+1；（7分）
兩邊同除以2ⁿ⁺¹，得

f(n+1)

2n+1

-

f(n)

2n

=4ⁿ+

1

2n+1

，
∴

f(n)

2n

-

f(1)

2

=（4^n-1+4^n-2+…+4）+（

1

2n

+

1

2n-1

+…+

1

22

）=

4n-4

3

+

1

2

-

1

2n

，
∴f（n）=2ⁿ[（

4n

3

-

4

3

+

1

2

-

1

2n

）+

3

2

]=2ⁿ[

4n

3

+

2

3

-

1

2n

]=

8n

3

+

2n+1

3

-1．（10分）

點評：本題考查了集合與元素的關系以及遞推數列的歸納與應用問題，解題的關鍵是得出f（n+1）與f（n）的關系，應該是競賽的試題，是有難度的題目．