Question

若函數f（x）=（1-x²）（x²+ax+b）的圖象關于直線x=3對稱，則f（x）的最大值是

 

．

Answer 1

考點：函數的最值及其幾何意義,導數在最大值、最小值問題中的應用

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：本題考查由圖象對稱確定待定系數的方法及通過導數求最值的方法．

解答： 由函數f（x）=（1-x²）（x²+ax+b）的圖象關于直線x=3對稱可知，
f（2）=f（4），f（1）=f（5）．
即

2b+9a+38=0 25+5a+b=0

，
解得：

a=-12 b=35

．
則f（x）=（1-x²）（x²-12x+35）=-x⁴+12x³-34x²-12x+35，
則令f′（x）=-4（x-3）（x²-6x-1）=0，
解得：x=3或x=3±

10

．
而f(3)=-64，f(3±

10

)=36．
故答案為：36．
法二：f（x）=（1-x²）（x²-12x+35）
=（1-x）（x-5）（1+x）（x-7）
=（-x²+6x-5）（x²-6x-7）≤

1

2

(-5-7)2=36；
（當且僅當-x²+6x-5=x²-6x-7，即x=3±

10

時，等號成立．）
故答案為：36．

點評：本題綜合性較強，考查圖象與函數性質的應用及導數的應用．