Question

如圖，F是橢圓的右焦點，以點F為圓心的圓過原點O和橢圓的右頂點，設P是橢圓上的動點，P到橢圓兩焦點的距離之和等于4.

(1)求橢圓和圓的標準方程；
(2)設直線l的方程為x＝4，PM⊥l，垂足為M，是否存在點P，使得△FPM為等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

(1)＋＝1   (x－1)²＋y²＝1
(2) 存在點P或，使得△FPM為等腰三角形

解：(1)由題意，設橢圓的標準方程為＋＝1，由已知可得2a＝4，a＝2c，解得a＝2，c＝1，b²＝a²－c²＝3.
∴橢圓的標準方程為＋＝1，圓的標準方程為(x－1)²＋y²＝1.
(2)設P(x，y)，則M(4，y)，F(1,0)，－2≤x≤2，
∵P(x，y)在橢圓上，∴＋＝1，
∴y²＝3－x².
∴|PF|²＝(x－1)²＋y²＝(x－1)²＋3－x²＝ (x－4)²，
|PM|²＝|x－4|²，|FM|²＝3²＋y²＝12－x².
①若|PF|＝|FM|，則 (x－4)²＝12－x²，解得x＝－2或x＝4(舍去)，x＝－2時，P(－2,0)，此時P，F，M三點共線，不合題意．∴|PF|≠|FM|；
②若|PM|＝|PF|，則(x－4)²＝ (x－4)²，解得x＝4，不合題意；
③若|PM|＝|FM|，則(x－4)²＝12－x²，解得x＝4(舍去)或x＝，x＝時y＝±，
∴P.
綜上可得，存在點P或，使得△FPM為等腰三角形．