Question

己知橢圓C：（a＞b＞0）的右焦點為F（1，0），點A（2，0）在橢圓C上，斜率為1的直線與橢圓C交于不同兩點M，N.
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線過點F（1，0），求線段的長；
（3）若直線過點（m，0），且以為直徑的圓恰過原點，求直線的方程.

Answer 1

（1）橢圓C的方程；（2）線段的長為；（3）直線的方程為 .

試題分析：（1）根據橢圓的右焦點為F（1，0），點A（2，0）在橢圓C上，代入即可求得橢圓C的方程；（2）先用點斜式寫出直線方程，再和橢圓方程聯立，用弦長公式即可求出線段的長為；（3）設直線的方程為，直線與橢圓的兩個交點設為，，把直線方程與橢圓方程聯立，表示出，而以線段為直徑的圓恰好過原點，即；聯立即可求出直線的方程為 .
試題解析：（1）由題意：，，，
所求橢圓方程為.                                            4分
（2）由題意，直線的方程為：.
由得， 
所以.             6分
（3）設直線的方程為，
由消去y整理得.
因為直線l與橢圓C交于不同兩點M、N，
所以
解得：
設，，
則，，
所以，
因為以線段為直徑的圓恰好過原點，所以，
所以，即
解得，.
所求直線的方程為               10分