Question

【題目】如圖，O為坐標原點，橢圓C1： + =1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1 ， F2 ， 離心率為e1；雙曲線C2： ﹣ =1的左、右焦點分別為F3 ， F4 ， 離心率為e2 ， 已知e1e2= ，且|F2F4|= ﹣1．

（1）求C1、C2的方程；
（2）過F1作C1的不垂直于y軸的弦AB，M為AB的中點，當直線OM與C2交于P，Q兩點時，求四邊形APBQ面積的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可知， ，且 ．

∵e1e2= ，且|F2F4|= ﹣1．

∴ ，且 ．

解得： ．

∴橢圓C1的方程為 ，雙曲線C2的方程為 ；

（2）解：由（1）可得F1（﹣1，0）．

∵直線AB不垂直于y軸，

∴設AB的方程為x=ny﹣1，

聯立 ，得（n2+2）y2﹣2ny﹣1=0．

設A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），

則 ， ．

則

= = ．

∵M在直線AB上，

∴ ．

直線PQ的方程為 ，

聯立 ，得 ．

解得 ，代入 得 ．

由2﹣n2＞0，得﹣ ＜n＜ ．

∴P，Q的坐標分別為 ，

則P，Q到AB的距離分別為： ， ．

∵P，Q在直線A，B的兩端，

∴ ．

則四邊形APBQ的面積S= |AB| ．

∴當n2=0，即n=0時，四邊形APBQ面積取得最小值2．

【解析】（1）由斜率公式寫出e1 ， e2 ， 把雙曲線的焦點用含有a，b的代數式表示，結合已知條件列關于a，b的方程組求解a，b的值，則圓錐曲線方程可求；（2）設出AB所在直線方程，和橢圓方程聯立后得到關于y的一元二次方程，由根與系數的關系得到AB中點M的坐標，并由橢圓的焦點弦公式求出AB的長度，寫出PQ的方程，和雙曲線聯立后解出P，Q的坐標，由點到直線的距離公式分別求出P，Q到AB的距離，然后代入代入三角形面積公式得四邊形APBQ的面積，再由關于n的函數的單調性求得最值．