Question

【題目】已知圓C：x2+（y﹣1）2=5，直線l：mx﹣y+1﹣m=0． （Ⅰ）求證：對m∈R，直線l與圓C總有兩個不同交點；
（Ⅱ）設l與圓C交與不同兩點A、B，求弦AB的中點M的軌跡方程；
（Ⅲ）若定點P（1，1）分弦AB為 = ，求此時直線l的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：圓C：x2+（y﹣1）2=5，可得圓心C（0，1），半徑為 ． ∴圓心C到直線l：mx﹣y+1﹣m=0的距離d= ≤ = ．
∴直線l與圓C相交，即直線l與圓C總有兩個不同交點；
（Ⅱ）解：當M與P不重合時，連接CM、CP，則CM⊥MP，
∴|CM|2+|MP|2=|CP|2 ，
設M（x，y）（x≠1），則x2+（y﹣1）2+（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，
化簡得：x2+y2﹣x﹣2y+1=0（x≠1），
當M與P重合時，x=y=1也滿足上式．
故弦AB中點的軌跡方程是x2+y2﹣x﹣2y+1=0．
（Ⅲ）解：設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），由 = ，得 = ，
∴ ，化簡的x2=3﹣2x1…①
又 消去y得（1+m2）x2﹣2m2x+m2﹣5=0…（*）
∴ …②
由①②解得 ，帶入（*）式解得m=±1，
∴直線l的方程為x﹣y=0或x+y﹣2=0．

【解析】（Ⅰ）圓C：x2+（y﹣1）2=5，可得圓心C（0，1），半徑為 ．求出圓心C到直線l：mx﹣y+1﹣m=0的距離d；利用基本不等式的性質、比較d與半徑的關系即可得出．（Ⅱ）當M與P不重合時，連接CM、CP，則CM⊥MP，利用勾股定理與兩點之間的距離公式即可得出；（Ⅲ）設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），由 = ，得 = ，直線與圓的方程聯立消去y得（1+m2）x2﹣2m2x+m2﹣5=0，再利用根與系數的關系即可得出．