Question

【題目】如圖，ABCD是邊長為3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE與平面ABCD所成角為60°．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：因為DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．
因為ABCD是正方形，所以AC⊥BD，
從而AC⊥平面BDE
（Ⅱ）解：因為DA，DC，DE兩兩垂直，所以建立空間直角坐標系D﹣xyz如圖所示．
因為BE與平面ABCD所成角為60°，即∠DBE=60°，
所以=．
由AD=3，可知DE=3，AF=．
則A（3，0，0），F（3，0，），E（0，0，3），B（3，3，0），C（0，3，0），
所以=（0，﹣3，），=（3，0，﹣2）．
設平面BEF的法向量為=（x，y，z），則
， 即．
令z=，則=（4，2，）．
因為AC⊥平面BDE，所以為平面BDE的法向量，=（3，﹣3，0）．
所以cos<,>===．
因為二面角為銳角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值為．

【解析】（Ⅰ）因為DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因為ABCD是正方形，所以AC⊥BD，從而AC⊥平面BDE；（Ⅱ）建立空間直角坐標系D﹣xyz，分別求出平面BEF的法向量為和平面BDE的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．