Question

（2013•朝陽區二模）點P是棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面A₁B₁C₁D₁上一點，則

PA

•

PC1

的取值范圍是（　　）

• A．[-1，-

  1

  4

  ]
• B．[-

  1

  2

  ，-

  1

  4

  ]
• C．[-1，0]
• D．[-

  1

  2

  ，0]

Answer 1

分析：建立空間直角坐標系，則點A（1，0，0），C₁ （0，1，1），設點P的坐標為（x，y，z），則由題意可得 0≤x≤1，
0≤y≤1，z=1，計算

PA

•

PC1

=x²-x，再利用二次函數的性質求得它的值域．

解答：解：如圖所示：以點D為原點，以DA所在的直線為x軸，以DC所在的直線為y軸，以DD₁所在的直線為z軸，
建立空間直角坐標系．
則點A（1，0，0），C₁ （0，1，1），設點P的坐標為（x，y，z），則由題意可得 0≤x≤1，0≤y≤1，z=1．
∴

PA

=（1-x，-y，-1），

PC1

=（-x，1-y，0），
∴

PA

•

PC1

=-x（1-x）-y（1-y）+0=x²-x+y²-y=(x-

1

2

)2+(y-

1

2

)2-

1

2

，
由二次函數的性質可得，當x=y=

1

2

時，

PA

•

PC1

取得最小值為-

1

2

；
故當x=0或1，且y=0或1時，

PA

•

PC1

取得最大值為0，
則

PA

•

PC1

的取值范圍是[-

1

2

，0]，
故選D．

點評：本題主要考查向量在幾何中的應用，兩個向量的數量積公式，兩個向量坐標形式的運算，屬于中檔題．