Question

已知函數f(x)＝ax²－(2a＋1)x＋2lnx(a∈R)．

(1)若曲線y＝f(x)在x＝1和x＝3處的切線互相平行，求a的值；

(2)求f(x)的單調區間；

(3)設g(x)＝x²－2x，若對任意x₁∈(0,2]，均存在x₂∈(0,2]，使得f(x₁)<g(x₂)，求a的取值范圍．

Answer 1

解析　f′(x)＝ax－(2a＋1)＋(x>0)．

(1)由f′(1)＝f′(3)，解得a＝.

(2)f′(x)＝(x>0)．

①當a≤0時，x>0，ax－1<0，

在區間(0,2)上f′(x)>0；在區間(2，＋∞)上f′(x)<0.

故f(x)的單調遞增區間(0,2)，單調遞減區間是(2，＋∞)．

②當0<a<時，>2，

在區間(0,2)和上f′(x)>0；在區間上f′(x)<0，故f(x)的單調遞增區間是(0,2)和(，＋∞)，

單調遞減區間是.

③當a＝時，f′(x)＝，

故f(x)的單調遞增區間是(0，＋∞)．

④當a>時，0<<2，

在區間和(2，＋∞)上f′(x)>0；在區間上f′(x)<0，故f(x)的單調遞增區間是和(2，＋∞)，單調遞減區間是.

(3)由已知，在(0,2]上有f(x)_max<g(x)_max.

由已知，g(x)_max＝0，由(2)可知，

①當a≤時，f(x)在(0,2]上單調遞增，

故f(x)_max＝f(2)＝2a－2(2a＋1)＋2ln2＝－2a－2＋2ln2.

所以，－2a－2＋2ln2<0，解得a>ln2－1.

故ln2－1<a≤.

②當a>時，f(x)在上單調遞增，在上單調遞減，故f(x)_max＝f()＝－2－－2lna.

由a>可知lna>ln>ln＝－1,2lna>－2，－2lna<2.

所以，－2－2lna<0，f(x)_max<0.

綜上所述，a>ln2－1.