Question

（2012•江西）如圖，從A₁（1，0，0），A₂（2，0，0），B₁（0，2，0），B₂（0，2，0），C₁（0，0，1），C₂（0，0，2）這6個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)，將這3個(gè)點(diǎn)及原點(diǎn)O兩兩相連構(gòu)成一個(gè)“立體”，記該“立體”的體積為隨機(jī)變量V（如果選取的3個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi)，此時(shí)“立體”的體積V=0）．
（1）求V=0的概率；
（2）求V的分布列及數(shù)學(xué)期望EV．

Answer 1

分析：（1）基本事件空間即6個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)取3個(gè)點(diǎn)，共有20種取法，研究的事件即4點(diǎn)共面所占基本事件為先選一個(gè)面，再選3個(gè)點(diǎn)，共有12種選法，故由古典概型概率計(jì)算公式即可得所求；
（2）先確定隨機(jī)變量V的所有可能取值，再利用古典概型概率計(jì)算公式分別計(jì)算隨機(jī)變量取值的概率，最后列出分布列，利用期望計(jì)算公式計(jì)算V的期望

解答：解：（1）從6個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)共有

C

3 6

=20種取法，選取的三個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)的取法有

C

2 3

C

3 4

=12種，
∴V=0的概率P（V=0）=

12

20

=

3

5

（2）V的所有可能取值為0，

1

6

，

1

3

，

2

3

，

4

3

P（V=0）=

3

5

P（V=

1

6

）=

C 3 3

C 3 6

=

1

20

P（V=

1

3

）=

C 2 3

C 3 6

=

3

20

P（V=

2

3

）=

C 2 3

C 3 6

=

3

20

P（V=

4

3

）=

C 3 3

C 3 6

=

1

20

∴V的分布列為

V	0	1 6	1 3	2 3	4 3
P	3 5	1 20	3 20	3 20	1 20

由V的分布列可得
EV=0×

3

5

+

1

6

×

1

20

+

1

3

×

3

20

+

2

3

×

3

20

+

4

3

×

1

20

=

9

40

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了古典概型的概率的計(jì)算方法和計(jì)算公式，利用組合數(shù)公式進(jìn)行計(jì)數(shù)的方法，離散型隨機(jī)變量分布列的意義和期望的計(jì)算，屬中檔題