Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，上底CD=3，下底AB=4，E、F分別為AB、CD中點，分別沿DE、CE把△ADE與△BCE折起，使A、B重合于點P．

（1）求證：PE⊥CD；
（2）若點P在面CDE的射影恰好是點F，求EF的長．

Answer 1

分析：（1）連接PF，證明CD⊥面PEF，利用線面垂直的性質，可得PE⊥CD；
（2）證明PF⊥面CDE于F，可得PF⊥EF，分別計算PC，BC，利用PC=BC，即可求EF的長．

解答：（1）證明：連接PF，∵F、E分別是等腰梯形上、下兩底的中點，∴EF⊥CD．
又∵AD=BC，即PD=PC且F為CD的中點，∴PF⊥CD．
又EF，PF?面PEF，EF∩PF=F，∴CD⊥面PEF．
又PE?面PEF，∴PE⊥CD．
（2）解：若點P在面CDE的射影恰好是點F，即PF⊥面CDE于F，EF?面CDE，所以，PF⊥EF
設EF=x，由已知EF為等腰梯形的高，且PE⊥CF
∵PE=BE=

1

2

AB=2，∴PF=

4-x2

∵CF=

1

2

CD=

3

2

，∴PC=

PF2+CF2

=

25-4x2

2

在等腰梯形ABCD中，BC=

EF2+(BE-CF)2

=

4x2+1

2

∵PC=BC，∴

25-4x2

2

=

4x2+1

2

，∴x=

3

，
∴EF的長為

3

．

點評：本題考查線面垂直、線線垂直，考查學生的計算能力，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．