Question

如圖，在等腰梯形CDEF中，CB、DA是梯形的高，AE=BF=2，AB=2

2

，現將梯形沿CB、DA折起，使EF∥AB，且EF=2AB，得一簡單組合體ABCDEF如圖所示，已知M、N、P分別為AF，BD，EF的中點．
（1）求證：MN∥平面BCF；
（2）求證：AP⊥平面DAE．

Answer 1

分析：（1）連結AC，通過證明MN∥CF，利用直線與平面平行的判定定理證明MN∥平面BCF．
（2）通過證明AP⊥AD，AP⊥AE，利用直線與平面垂直的判定定理求證：AP⊥平面DAE．

解答：解：（1）證明：連結AC，
∵四邊形ABCD是矩形，N為BD中點，
∴N為AC中點，
在△ACF中，M為AF中點，故MN∥CF．
∵CF?平面BCF，MN?平面BCF，
∴MN∥平面BCF．
（2）依題意知DA⊥AB，DA⊥AE 且AB∩AE=A，
∴AD⊥平面ABFE
∵AP?平面ABFE，∴AP⊥AD，
∵P為EF中點，
∴PF=AB=2

2

，
結合AB∥EF，知四邊形ABFP是平行四邊形
∴AP∥BF，AP=BF=2，
而AE=2，PE=2

2

，
∴AP²+AE²=PE²，
∴∠EAP=90°，即AP⊥AE．又AD∩AE=A，
∴AP⊥平面ADE．

點評：本題考查直線與平面平行與垂直的判定定理的應用，要求熟練掌握相應的判定定理和性質定理．