Question

【題目】已知命題函數是上的奇函數，命題函數的定義域和值域都是，其中.

（1）若命題為真命題，求實數的值；

（2）若“且”為假命題，“或”為真命題，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】分析：（1）根據奇函數定義得f(－x)＋f(x)＝0，解得實數的值；（2）根據函數單調性得轉化為對應一元二次方程有兩個大于1的不相等實根，利用實根分布解得k的取值范圍，由“p且q”為假命題，“p或q”為真命題，得命題p和q中有且僅有一個為真命題，根據真假列方程組解得實數的取值范圍.

詳解：（1）若命題p為真命題，則f(－x)＋f(x)＝0，

即，

化簡得對任意的x∈R成立，

所以k＝1．

（2）若命題q為真命題，因為在[a，b]上恒成立，

所以g(x)在[a，b]上是單調增函數，

又g(x)的定義域和值域都是[a，b]，所以

所以a，b是方程的兩個不相等的實根，且1＜a＜b．

即方程有兩個大于1的實根且不相等，

記h(x)＝k2x2－k(2k－1)x＋1，

故，解得，

所以k的取值范圍為．

因為“p且q”為假命題，“p或q”為真命題，

所以命題p和q中有且僅有一個為真命題，

即p真q假，或p假q真．

所以或

所以實數k的取值范圍為．