Question

【題目】已知函數，集合.

（1）當時，解不等式；

（2）若，且，求實數的取值范圍；

（3）當時，若函數的定義域為，求函數的值域.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）當時，的值域為；

當時，的值域為；當時，的值域為．

【解析】分析：（1）先根據一元二次方程解得ex＞3，再解對數不等式得解集，（2）解一元二次不等式得集合A,再根據，得log2f(x)≥1在0≤x≤1上有解，利用變量分離法得a≥3ex－e2x在0≤x≤1上有解，即a≥[3ex－e2x]min.最后根據二次函數性質求最值得結果,（3）先轉化為對勾函數，再根據拐點與定義區間位置關系，分類討論，結合單調性確定函數值域.

詳解：（1）當a＝－3時，由f(x)＞1得ex－3e-x－1＞1，

所以e2x－2ex－3＞0，即(ex－3) (ex＋1)＞0，

所以ex＞3，故x＞ln3，

所以不等式的解集為(ln3，+∞).

（2）由x2－x≤0，得0≤x≤1，所以A＝{x|0≤x≤1}.

因為A∩B≠，所以log2f(x)≥1在0≤x≤1上有解，

即 f(x)≥2在0≤x≤1上有解，

即ex＋ae-x－3≥0在0≤x≤1上有解，

所以a≥3ex－e2x在0≤x≤1上有解，即a≥[3ex－e2x]min.

由0≤x≤1得1≤ex≤e，

所以3ex－e2x＝－(ex－)2＋∈[3e－e2，]，

所以a≥3e－e2.

（3）設t＝ex，由（2）知1≤t≤e，

記g(t)＝t＋－1(1≤t≤e，a＞1)，則，

t	(1，)		(，＋∞)
g′(t)	－	0	＋
g(t)	↘	極小值	↗

①當≥e時，即a≥e2時，

g(t)在1≤t≤e上遞減，所以g(e)≤g(t)≤g(1)，即．

所以f(x)的值域為.

②當1＜＜e時，即1＜a＜e2時，

g(t)min= g()＝2－1，g(t)max=max{ g(1)，g(e)} =max{ a，}．

1°若a，即e＜a＜e2時，g(t)max= g(1)= a；

所以f(x)的值域為；

2°若a，即1＜a≤e時，g(t)max= g(e) =，

所以f(x)的值域為．

綜上所述，當1＜a≤e時，f(x)的值域為；

當e＜a＜e2時，f(x)的值域為；

當a≥e2時，f(x)的值域為．