Question

【題目】已知橢圓的離心率為， 是橢圓上任意一點，且點到橢圓的一個焦點的最大距離等于．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若過點的直線與橢圓相交于不同兩點，設為橢圓上一點，是否存在整數，使得（其中為坐標原點）？若存在，試求整數的所有取值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）整數的所有取值為-1，0，1．

【解析】試題分析:（Ⅰ）由，解得,則橢圓方程可求;
(Ⅱ)設出直線方程,和橢圓聯立后化為關于的一元二次方程,由判別式大于求出的范圍,利用根與系數關系得到兩點的橫坐標的和與積,代入后得到點的坐標,把點坐標代入橢圓方程后得到與的關系,由的范圍確定的范圍.

試題解析:（Ⅰ）設橢圓的半焦距為，則由題意知

，解得，

所以橢圓的方程為．

（Ⅱ）結論：存在整數，使得．理由如下：

由題意知直線的斜率存在．

設， ， ， ，

由方程組，消去整理得．

∵直線與橢圓有兩個不同的公共點，

∴ ，解得．

而， ，

∵，

∴，

∴， ．

∵點在橢圓上，∴，

∴ ，即，解得，

∴整數的所有取值為-1，0，1．