Question

【題目】已知數列{an}，滿足a1=1， ，n∈N* ． （Ⅰ）求證：數列 為等差數列；
（Ⅱ）設 ，求T2n ．

Answer 1

【答案】證明（Ⅰ）：法一：由 ，得 = = + ， ∴ ﹣ = ，
∴數列{ }是首項為1，公差為 的等差數列，
法二：由 ，得 ﹣ = ﹣ =（ + ）﹣ =
∴數列{ }是首項為1，公差為 的等差數列，
（Ⅱ）解：設bn= ﹣ =（ ﹣ ） ，
由（Ⅰ）得，數列{ }是首項為1，公差為 的等差數列，
∴ ﹣ =﹣ ，
即bn=（ ﹣ ） =﹣ ﹣ ，
∴bn+1﹣bn=﹣ （ ﹣ ）=﹣ × =﹣ ，
且b1=﹣ × =﹣ （ + ）=﹣
∴{bn}是首項b1=﹣ ，公差為﹣ 的等差數列，
∴T2n=b1+b2+…+bn=﹣ n+ ×（﹣ ）=﹣ （2n2+3n）
【解析】（Ⅰ）方法一：根據數列的遞推公式得到 = = + ，即可得到 ﹣ = ，問題得以解決，方法二：根據數列的遞推公式得 ﹣ = ﹣ =（ + ）﹣ = ，問題得以解決，（Ⅱ）設bn= ﹣ =（ ﹣ ） ，得到{bn}是首項b1=﹣ ，公差為﹣ 的等差數列，再根據等差數列的求和公式計算即可．
【考點精析】利用等差關系的確定和數列的前n項和對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么這個數列就叫做等差數列；數列{an}的前n項和sn與通項an的關系．