Question

【題目】如圖所示，在中， 的中點為,且，點在的延長線上，且.固定邊，在平面內移動頂點，使得圓與邊，邊的延長線相切，并始終與的延長線相切于點，記頂點的軌跡為曲線.以所在直線為軸， 為坐標原點如圖所示建立平面直角坐標系.

（Ⅰ）求曲線的方程；

（Ⅱ）設動直線交曲線于兩點，且以為直徑的圓經過點，求面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】【試題分析】（1）依據題設條件運用橢圓的定義進行分析探求；（2）借助題設條件運用直線與橢圓的位置關系進行分析求解：

（Ⅰ）依題意得，設動圓與邊的延長線相切于，與邊相切于， 則

所以

所以點軌跡是以為焦點，長軸長為4的橢圓，且挖去長軸的兩個頂點.則曲線的方程為.

由于曲線要挖去長軸兩個頂點，所以直線斜率存在且不為，所以可設直線

由得,，同理可得： ,；

所以，

又，所以令，

則且，所以

又，所以，

所以，

所以，所以，

所以面積的取值范圍為.

【法二】

依題意得直線斜率不為0，且直線不過橢圓的頂點，則可設直線： ，且。

設，又以為直徑的圓經過點，則，所以

由得，則

且，所以

又

代入①得： ，所以，

代入②得： 恒成立所以且.

又；

點到直線的距離為，

所以

（Ⅰ）當時， ；

（Ⅱ）當且時，

，

又，當且僅當時取“”，所以，

所以，所以，

所以，所以；

綜合（1），（2）知.