Question

(本小題滿分12分)
如圖，在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AC=1，AB=，BC=，AA₁=。
（I）求證：A₁B⊥B₁C；
（II）求二面角A₁—B₁C—B的大小。

Answer 1

（I）證明見解析
（II）

解法一：
（I）由AC=1，AB=，BC=知AC²+AB²=BC²，
所以AC⊥AB。
因為ABC—A₁B₁C₁是直三棱柱，面ABB₁A₁⊥面ABC，
所以AC⊥面ABB₁A₁。………………3分
由，知側面ABB₁A₁是正方形，連結AB₁，
所以A₁B⊥AB₁。
由三垂線定理得A₁B⊥B₁C。  ………………6分
（II）作BD⊥B₁C，垂足為D，連結A₁D。
由（I）知，A₁B⊥B₁C，則B₁C⊥面A₁BD，
于是B₁C⊥A₁D，
則∠A₁DB為二面角
A₁—B₁C—B的平面角。 ………………8分

∴Rt△A₁B₁C≌Rt△B₁BC，

故二面角A₁—B₁C—B的大小為………………12分
解法二：
由AC=1，AB=，BC=知AC²+AB²=BC²，
所以AC⊥AB。
如圖建立空間直角坐標系
  ……………………2分
（I），
………………6分
（II）作，垂足為D，連結A₁D。

設
，
所以等于二面角A₁—B₁C—B的大小。  ………………10分
，
故二面角A₁—B₁C—B的大小為………………12分