Question

（本小題12分）如圖,四棱錐P-ABCD是底面邊長為1的正方形，PD ⊥BC,PD=1,PC=.

（Ⅰ）求證:PD⊥面ABCD；
（Ⅱ）求二面角A－PB－D的大小.

Answer 1

（1）略
（2）二面角A－PB－D的大小為60°.

（Ⅰ）證明:,
.……2分
又,……4分
∴  PD⊥面ABCD………6分
（Ⅱ）解:連結BD,設BD交AC于點O,
過O作OE⊥PB于點E,連結AE,
∵PD⊥面ABCD, ∴,
又∵AO⊥BD, ∴AO⊥面PDB.
∴AO⊥PB,
∵,
∴,從而,
故就是二面角A－PB－D的平面角.……………………8分
∵ PD⊥面ABCD,  ∴PD⊥BD,
∴在Rt△PDB中, ,
又∵,   ∴,………………10分
 ∴ .
故二面角A－PB－D的大小為60°. …………………12分
（也可用向量解）