Question

【題目】已知離心率為的橢圓過點，點分別為橢圓的左、右焦點，過的直線與交于兩點，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）求證：以 為直徑的圓過坐標原點.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析

【解析】試題分析：

(1)利用離心率結合橢圓所過的點得到關系 的方程組，求解方程組即可求得橢圓的標準方程；

(2)分類討論，當斜率不存在的時候單獨考查，當斜率存在的時候設出直線方程，聯立直線與橢圓的方程，結合韋達定理和平面向量的結論證得 即可.

試題解析：

（Ⅰ）點， 分別為橢圓的左右焦點，橢圓的方程為；

由離心率為得： ；

過點得： ；

所以， ， ；橢圓方程為；

（Ⅱ）由（1）知， ；令， ；

當直線的斜率不存在時，直線方程為；

此時， ，不滿足；設直線方程為；

代入橢圓方程得：

韋達定理： ， ；

所以， ，

；

所以， ；

點到直線的距離為；

所以，由得： ；

所以，以為直徑的圓過坐標原點