Question

【題目】對于數列{an}，定義 為{an}的“優值”，現在已知某數列{an}的“優值” ，記數列{an﹣kn}的前n項和為Sn ， 若Sn≤S5對任意的n∈N+恒成立，則實數k的最大值為 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：由題意， =2n+1 ， 則a1+2a2+…+2n﹣1an=n2n+1 ，
當n≥2時，a1+2a2+…+2n﹣2an﹣1=（n﹣1）2n ，
兩式相減可得2n﹣1an=n2n+1﹣（n﹣1）2n=（n+1）2n ，
則an=2（n+1），
當n=1時，a1=4，
上式對a1也成立，
故an=2（n+1），n∈N+ ，
則an﹣kn=（2﹣k）n+2，
則數列{an﹣kn}為等差數列，
故Sn≤S5對任意的n（n∈N*）恒成立可化為
a5≥0，a6≤0，
即 ，
解得 ≤k≤ ，
則實數k的最大值為 ，
所以答案是： ．
【考點精析】本題主要考查了數列的前n項和的相關知識點，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系才能正確解答此題．