Question

【題目】已知函數.

(1) 若函數在點處的切線方程為，求的值；

(2) 若，求函數在區間上的最小值；

(3) 對任意的，都有，求正實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 見解析(3) .

【解析】試題分析：（1）求出導數，由，即可解得 ；（2）求出導函數，令導函數為求出根，通過討論根與區間的關系，判斷出函數的單調性，求出函數的極值與區間端點函數值比較，即可得函數的最小值；（3）由題意可得在遞增.通過構造函數求出導數，結合二次函數的性質，解不等式即可得到的范圍.

試題解析：(1) ，函數點處的切線斜率為，在點處的切線方程為，則，計算得出；

(2) ，

令得（舍）或，

當時， 在單調遞減，在上單調遞增

所以；

當時， 在上單調遞減，所以.

即有當時， ；

當時， .

(3)對任意的，都有，

即為在遞增．

因為， ， 在恒成立，

即有在恒成立，即有令，對稱軸， ，則判別式，

即，計算得出．則有的取值范圍為.