Question

班主任為了對本班學生的考試成績進行分析，決定從全班25名女同學，15名男同學中隨機抽取一個容量為8的樣本進行分析．若這8位同學的數學、物理分數對應如下表：

學生編號	1	2	3	4	5	6	7	8
數學分數x	60	65	70	75	80	85	90	95
物理分數y	72	77	80	84	88	90	93	95

根據如表數據用變量y與x的相關關系
（1）畫出樣本的散點圖，并說明物理成績y與數學成績x之間是正相關還是負相關？
（2）求y與x的線性回歸直線方程（系數精確到0.01），并指出某個學生數學83分，物理約為多少分？
參考公式：回歸直線的方程是：

?

y

=bx+a，
其中b=

n i=1 (xi- . x )(yi- . y )

n i=1 (xi- . x )2

，a=

.

y

-b

.

x

；其中

?

y

i是與x_i對應的回歸估計值．
參考數據：

.

x

=77.5，

.

y

=85，

8

i=1

(x1-

.

x

)2≈1050，

8

i=1

(x1-

.

x

)(y1-

.

y

)≈688．

Answer 1

分析：（1）根據所給的這一組數據，得到8個點的坐標，把這幾個點的坐標在直角坐標系中描出對應的點，得到散點圖，從散點圖可以看出，這兩個兩之間是正相關．
（2）根據題目最后所給的數據，利用最小二乘法得到線性回歸方程的系數b，根據線性回歸直線過樣本中心點，得到a的值，寫出線性回歸方程，預報出要求的值．

解答：解：（1）畫樣本散點圖如下：
由圖可知：物理成績y與數學成績x之間是正相關關系
（2）從散點圖中可以看出，這些點分布在一條直線附近，因此可以用公式計算
由

8

i=1

(x1-

.

x

)(y1-

.

y

)≈688，

8

i=1

(x1-

.

x

)2≈1050，
得b=

n i=1 (xi- . x )(yi- . y )

n i=1 (xi- . x )2

=

688

1050

≈0.66
由

.

x

=77.5，

.

y

=85，
得a=

.

y

-b

.

x

=85-0.66×77.5≈33.85
∴回歸直線方程為

?

y

=0.66x+33.85
當x=83時，

?

y

=0.66×83+33.85=88.63
因此某學生數學83分時，物理約為89分．

點評：本題考查線性回歸方程，考查散點圖，考查利用線性回歸方程預報y的值，本題是一個適合出現在高考卷中的題目，題目的數據雖然多，但是本題給出了所有的結果，只剩下代入公式求解．