Question

班主任為了對本班學生的考試成績進行分析，決定從全班25位女同學，15位男同學中隨機抽取一個容量為8的樣本進行分析．
（1）如果按性別比例分層抽樣，可以得到多少個不同的樣本（只要求寫出算式即可，不必計算出結果）；
（2）隨機抽取8位同學，
數學分數依次為：60，65，70，75，80，85，90，95；
物理成績依次為：72，77，80，84，88，90，93，95，
①若規定90分（含90分）以上為優秀，記ξ為這8位同學中數學和物理分數均為優秀的人數，求ξ的分布列和數學期望；
②若這8位同學的數學、物理分數事實上對應下表：

學生編號	1	2	3	4	5	6	7	8
數學分數x	60	65	70	75	80	85	90	95
物理分數y	72	77	80	84	88	90	93	95

根據上表數據可知，變量y與x之間具有較強的線性相關關系，求出y與x的線性回歸方程（系數精確到0.01）．（參考公式：

y

=bx+a，其中b=

n i=1 (xi- . x )(yi- . y )

n i=1 (xi- . x )2

，a=

.

y

-b

.

x

；參考數據：

.

x

=77.5，

.

y

=84.875，

8

i=1

(xi-

.

x

)2≈1050，

8

i=1

(xi-

.

x

)(yi-

.

y

)≈688，

1050

≈32.4，

457

≈21.4，

550

≈23.5）

Answer 1

分析：（1）從全班25位女同學，15位男同學中隨機抽取一個容量為8的樣本進行分析，做出女生和男生在總人數中所占的比例，用比例乘以要抽取的樣本容量，得到結果．
（2）①這是這是一個古典概率，由表中可以看出，所選的8名同學中，數學和物理分數均為優秀的有2人，根據等可能事件的概率公式得到結果．
②首先求出兩個變量的平均數，再利用最小二乘法做出線性回歸方程的系數，把做出的系數和x，y的平均數代入公式，求出a的值，寫出線性回歸方程，得到結果．

解答：解：（1）從全班25位女同學，15位男同學中隨機抽取一個容量為8的樣本進行分析
故抽取男生數

25

40

×8=5人，

15

40

×8=3，
則共有

C

5 25

C

3 15

個不同樣本；
（2）ξ的所有可能取值為0，1，2
P(ξ=0)=

A 2 5 A 6 6

A 8 8

=

20

56

，P(ξ=1)=

C 1 2 C 1 3 C 1 5 A 6 6

A 8 8

=

30

56

，P(ξ=2)=

A 2 3 A 6 6

A 8 8

=

6

56

故ξ的分布列為

ξ	0	1	2
p	20 56	30 56	6 56

Eξ=0×

20

56

+1×

30

56

+2×

6

56

=

3

4

；
（3）b≈0.655，a≈34.11（a≈34.09或a≈34.10也算正確）
則線性回歸方程為：y=0.655x+34.11

點評：本題考查線性回歸分析的初步應用，考查分層抽樣，考查條件概率，考查相互獨立事件同時發生的概率，考查利用數學知識解決實際問題的能力，是一個比較好的綜合題目．