Question

[選做題]
A．（選修4-1：幾何證明選講）
如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，PA是⊙O的切線，PB交AC于點E，交⊙O于點D，若PE=PA，
∠ABC=60°，PD=1，BD=8，求BC的長．
B．（選修4-2：矩陣與變換）
二階矩陣M對應的變換將點（1，-1）與（-2，1）分別變換成點（-1，-1）與（0，-2）．
（Ⅰ）求矩陣M的逆矩陣M^-1；
（Ⅱ）設直線l在變換M作用下得到了直線m：2x-y=4，求l的方程．
C．（選修4-4：坐標系與參數方程）
在極坐標系中，設圓ρ=3上的點到直線ρ(cosθ+

3

sinθ)=2的距離為d，求d的最大值．
D．（選修4-5：不等式選講）
設a，b，c為正數且a+b+c=1，求證：(a+

1

a

)2+(b+

1

b

)2+(c+

1

c

)2≥

100

3

．

Answer 1

分析：A．由切割線定理，得到PA²=PD•BD，從而有AE=PA=3，再用弦切角得到∠PAE=∠ABC=60°，可得△PAE是邊長為3的等邊三角形．然后在在△ADE中利用余弦定理，算出得AD=

7

，最后利用△AED∽△BEC，由對應邊成比例得到BC=2AD=2

7

．
B．（I）設M=

a c

，利用矩陣乘法的法則，結合題意列出關于a、b、c、d的方程組并解之，可得矩陣M，再用二階矩陣逆矩陣的公式，可算出矩陣M的逆矩陣M^-1；
（II）設l上的點（x，y）被M變換為m上的點（x'，y'），根據矩陣變換的公式找到用x、y表示x'、y'的式子，再將此對應的點的坐標代入直線m方程，化簡整理即得直線l的方程．
C．圓ρ=3化成普通方程：x²+y²=9，直線ρ(cosθ+

3

sinθ)=2的普通方程為x+

3

y-2=0．設圓上的點A（3cosα，3sinα），利用點到直線的距離公式結合正弦函數的最值，可算出圓上的點到直線距離的最大值．
D．將不等式左邊變形后，利用柯西不等式，再將a+b+c=1代入，將所得不等式再整理，即得要證明的不等式恒成立．

解答：A．解：∵PA是⊙O的切線，∴PA²=PD•BD，
∵PB=PD+BD=1+8=9，∴PA²=1×9=9，可得PA=3，AE=PA=3，
∵PA是⊙O的切線，∴∠PAE=∠ABC=60°，可得△PAE是邊長為3的等邊三角形
連接AD，在△ADE中，AE=3，DE=2，得AD=

AE2+DE2-2•AE•DEcos60°

=

7

又∵圓中△AED∽△BEC，
∴

AD

BC

=

AE

BE

=

1

2

，可得BC=2AD=2

7

B．解：（Ⅰ）設M=

a c

，則有

a c

 

1 -1

=

-1 -1

，

a c

-2 1

=

0 -2

，
所以

a-b=-1 c-d=-1

，且

-2a+b=0 -2c+d=-2

，解得

a=1 b=2 c=3 d=4

所以M=

1 3

，從而M^-1=

-2 3 2

（Ⅱ）因為

x′ y′

=

1 3

，所以

x′=x+2y y=3x+4y

∵l在變換M作用下得到了直線m：2x'-y'=4，
∴代入得：2（x+2y）-（3x+4y）=4，化簡得x+4=0，
∴直線l的方程方程為x+4=0
C．解：將極坐標方程ρ=3轉化為普通方程：x²+y²=9
直線ρ(cosθ+

3

sinθ)=2可化為x+

3

y-2=0
在x²+y²=9上任取一點A（3cosα，3sinα），則
點A到直線的距離為d=

|3cosα+3 3 sinα-2|

2

=

|6sin(α+ π 6  )-2|

2

，
當sin（α+

π

6

）=-1時，d的最大值為4．
D．證明：左邊=

1

3

(12+12+12)[(a+

1

a

)2+(b+

1

b

)2+(c+

1

c

)2]
≥

1

3

[1×(a+

1

a

)+1×(b+

1

b

)+1×(c+

1

c

)]2=

1

3

[1+(

1

a

+

1

b

+

1

c

)]2=

1

3

[1+(a+b+c)(

1

a

+

1

b

+

1

c

)]2
∵a+b+c=1，可得(a+b+c)(

1

a

+

1

b

+

1

c

) ≥(a•

1

a

+b•

1

b

+c•

1

c

)=9
∴原不等式的左邊≥

1

3

(1+9)2=

100

3

，即不等式(a+

1

a

)2+(b+

1

b

)2+(c+

1

c

)2≥

100

3

成立．

點評：本題以平面幾何證明、矩陣及矩陣變換、參數方程與極坐標和不等式選講為載體，考查了同學們對數學選修知識的理解與掌握情況，屬于中檔題．