Question

（2012•江蘇二模）選做題
A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，自⊙O外一點P作⊙O的切線PC和割線PBA，點C為切點，割線PBA交⊙O于A，B兩點，點O在AB上．作CD⊥AB，垂足為點D．
求證：

PC

PA

=

BD

DC

．
B．選修4-2：矩陣與變換
設a，b∈R，若矩陣A=

a 0 -1 b

把直線l：y=2x-4變換為直線l′：y=x-12，求a，b的值．
C．選修4-4：坐標系與參數方程
求橢圓C：

x2

16

+

y2

9

=1上的點P到直線l：3x+4y+18=0的距離的最小值．
D．選修4-5不等式選講
已知非負實數x，y，z滿足x²+y²+z²+x+2y+3z=

13

4

，求x+y+z的最大值．

Answer 1

分析：A．利用弦切角定理可以證明∠PCB=∠PAC，又∠BPC=∠CPA，從而有△PCB∽△PAC，得到比例式

PC

PA

=

BC

AC

，①又在直角三角形ABC中，有

BD

DC

=

BC

CA

，②，等量代換得

PC

PA

=

BD

DC

．
B．在直線l取兩點M（2，0），N（0，-4），M，N在矩陣A對應的變換作業下分別對應于點M'，N'，分別求出點M'，N'的坐標，代入直線l′，建立方程組，解之即可．
C．先求出橢圓的參數方程點P（4cosθ，3sinθ）到直線l的距離d，再由和（差）角公式求出橢圓上的點到直線l的距離的最小值．
D．利用題中條件可化為：（x+

1

2

）²+（y+1）²+（x+

3

2

）²=

27

4

，根據柯西不等式可得到[（x+

1

2

）+（y+1）+（x+

3

2

）]²≤3[（x+

1

2

）²+（y+1）²+（x+

3

2

）]=

81

4

，從而求出x+y+z的最小值．

解答：解：A．證明：連接BC、AC，
∵PC作⊙O的切線，切點為C，
∴∠PCB=∠PAC，
又∵∠BPC=∠CPA，
∴△PCB∽△PAC；
∴

PC

PA

=

BC

AC

，①
又在直角三角形ABC中，有

BD

DC

=

BC

CA

，②
由①②得

PC

PA

=

BD

DC

．
B：在直線l取兩點M（2，0），N（0，-4）
M，N在矩陣A對應的變換作業下分別對應于點M'，N'
因

a 0 -1 b

2 0

=

2a -2

，所以M'的坐標為（2a，-2）；

a 0 -1 b

0 -4

=

0 -4b

，所以N'的坐標為（0，-4b）；
由題意可知M'，N'在直線l′上，
所以

-2=2a-12 -4b=-12

解得：a=5，b=3．
C：∵設P（4cosθ，3sinθ）到直線l的距離：
d=

|12cosθ+12sinθ+18|

5

=

12 2 sin(θ+ π 4 )+18

5

≥

-12 2 +18

5

當sin（θ+

π

4

）=-1時，等號成立，
故d的最小值為

-12 2 +18

5

．
D．條件可化為：（x+

1

2

）²+（y+1）²+（z+

3

2

）²=

27

4

則：[（x+

1

2

）+（y+1）+（z+

3

2

）]²≤3[（x+

1

2

）²+（y+1）²+（z+

3

2

）²]=

81

4

得x+y+z≤

3

2

，當且僅當：x+

1

2

=y+1=z+

3

2

時取等號，
∴x+y+z的最小值為：

3

2

．

點評：A．本題考查了弦切角定理，切線的性質定理，運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．
B．本題主要考查了變換、矩陣的相等、幾種特殊的矩陣變換，同時考查了計算能力，屬于基礎題．
C．本題以橢圓為載體，考查橢圓的參數方程、點到直線的距離公式、和（差）角公式，綜合性強，考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．
D．本題考查用柯西不等式求最值，關鍵是利用構造利用一般形式的柯西不等式．