Question

（2009•淮安模擬）如圖，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長(zhǎng)都為2，D為CC₁中點(diǎn)，試用空間向量知識(shí)解下列問(wèn)題：
（1）求證：AB₁⊥平面A₁BD；
（2）求二面角A-A₁D-B的余弦值大小．

Answer 1

分析：取BC中點(diǎn)O，連AO，利用正三角形三線(xiàn)合一，及面面垂直的性質(zhì)可得AO⊥平面BCB₁C₁，取B₁C₁中點(diǎn)為O₁，以O(shè)為原點(diǎn)，

OB

，

OO1

，

OA

的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，
（1）求出AB₁的方向向量

AB1

，

BD

，

BA1

利用向量垂直的充要條件及線(xiàn)面垂直的判定定理可得AB₁⊥平面A₁BD；
（2）分別求出平面A₁AD的法向量和平面A₁AD的一個(gè)法向量代入向量夾角公式，可得二面角A-A₁D-B的余弦值大小．

解答：證明：（1）取BC中點(diǎn)O，連AO，
∵△ABC為正三角形，
∴AO⊥BC
又∵平面ABC⊥平面BCB₁C₁，平面ABC∩平面BCB₁C₁=BC，AO?平面ABC
∴AO⊥平面BCB₁C₁，…（2分）
取B₁C₁中點(diǎn)為O₁，
以O(shè)為原點(diǎn)，

OB

，

OO1

，

OA

的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，
建立空間直角坐標(biāo)系，
則B（1，0，0），D(-1，1，0)，A1(0，2，

3

)，A(0，0，

3

)，B1(1，2，0)…（4分）
∴

AB1

=(1，2，-

3

)，

BD

=(-2，1，0)，

BA1

=(-1，2，

3

)，
∵

AB1

•

BD

=-2+2+0=0，

AB1

•

BA1

=-1+4-3=0，
∴

AB1

⊥

BD

，

AB1

⊥

BA1

，
∴AB₁⊥平面A₁BD．…（6分）
（2）設(shè)平面A₁AD的法向量為

n

=(x，y，z)，
由

AD

=(-1，1，-

3

)，

AA1

=(0，2，0)．

n

⊥

AD

，

n

⊥

AA1

，
∴

n • AD =0 n • AA1 =0

，
∴

-x+y- 3 z=0 2y=0

，
解得

y=0 x=- 3 z

，
令z=1，得

n

=(-

3

，0，1)為平面A₁AD的一個(gè)法向量，…（8分）
由（1）知AB₁⊥平面A₁BD，
∴

AB1

為平面A₁AD的法向量，
cos＜

n

，

AB1

＞=

n • AB1

| n || AB1 |

=

- 3 - 3

2×2 2

=-

6

4

，
∴二面角A-A₁D-B的余弦值大小為cosθ=

6

4

．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法，直線(xiàn)與平面垂直的判定，建立空間坐標(biāo)系，將空間線(xiàn)線(xiàn)垂直轉(zhuǎn)化為向量垂直，將空間二面角轉(zhuǎn)化為向量夾角是解答的關(guān)鍵．